时间:2025-09-15 01:43 / 来源:未知
arcgis拓扑则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式1】已知函数第11讲 函数的缺乏性与最大（小）值（常识清单+16题型讲明练+加强操练）（教材）-2025-2026学年高一数学试验满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）
第11讲 函数的缺乏性与最大（小）值常识清单常识点01：函数的缺乏性 2常识点02：函数缺乏性的判决与声明 3常识点03：函数的最大（小）值 3题型归结题型01：界说法判决或声明函数的缺乏性 4题型02：求函数的缺乏区间 8题型03：遵循函数的缺乏性求参数值 10题型04：遵循图像判决函数缺乏性 12题型05：复合函数的缺乏性 15题型06：愚弄函数缺乏性求最值或值域 18题型07：遵循函数的最值求参数 22题型08：遵循解析式直接判决函数的缺乏性 26题型09：对照函数值的巨细联系 28题型10：遵循函数的缺乏性解不等式 30题型11：函数不等式恒建立（能建立）题目 32题型12：分段函数的值域或最值 40题型13：遵循值域求参数的值或者限制 43题型14：遵循分段函数的缺乏性求参数 45题型15：分段函数的缺乏性 48题型16：遵循分段函数的值域（最值）求参数 50加强操练 54常识点01：函数的缺乏性1.函数的缺乏性通常地，设函数f(x)的界说域为D，区间I⊆D：倘使∀x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)正在区间I上缺乏递增．格外地，当函数f(x)正在它的界说域上缺乏递增时，咱们就称它是增函数．倘使∀x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)正在区间I上缺乏递减．格外地，当函数f(x)正在它的界说域上缺乏递减时，咱们就称它是减函数．2.复合函数的缺乏性复合函数的缺乏性:通常地,对待复合函数y=f(g(x)),缺乏性如下外所示,简记为“界说域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数缺乏性一样时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数缺乏性分歧时,复合函数为减函数,若一个函数是由众个大略函数复合而成的则此复合函数的缺乏性由大略函数中减函数的个数决议.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.【步骤总结】判决复合函数缺乏性的设施:先求函数的界说域,接着领悟复合函数,再判决每一层函数的缺乏性,最终遵循复合函数的缺乏性确定函数的缺乏性3.概括函数的缺乏性概括函数是指没有给出整体解析式的函数判决概括函数缺乏性的步骤:(1)凑:凑界说或凑已知,愚弄界说或已知前提得出结论;(2)赋值:给变量赋值要遵循前提与结论的联系,有时大概要实行众次测试,4.由函数缺乏性求参数限制的处分步骤(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判决启齿宗旨与对称轴——愚弄缺乏性确定参数满意的前提．若为一次函数——由一次项系数的正负决议缺乏性．若为分段函数——数形纠合，每一段的函数的缺乏性均要斟酌，并戒备临界值的巨细．物色参数满意的前提．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，能够按照函数缺乏性的界说和本质，将符号“f”去掉，列出闭于自变量的不等式(组)，然后求解，此时戒备函数的界说域．常识点02：函数缺乏性的判决与声明愚弄界说声明函数缺乏性的设施(1)取值并规则巨细：设x1，x2是该区间内的大肆两个值，且x1x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式领悟、通分、配方、有理化等步骤，转化为易判决正负的联系式．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确依时，实行分类筹议．(4)结论：遵循界说确定缺乏性．常识点03：函数的最大（小）值1.函数的最值通常地，设函数y＝f(x)的界说域为D，倘使存正在实数M满意：(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.那么，咱们称M是函数y＝f(x)的最大值．通常地，设函数y＝f(x)的界说域为D，倘使存正在实数M满意：(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.那么，咱们称M是函数y＝f(x)的最小值．2.图象法求函数最值的通常设施3.愚弄缺乏性求最值的通常设施①判决函数的缺乏性．②愚弄缺乏性写出最值．4.函数的最值与缺乏性的联系①若函数正在闭区间[a，b]上缺乏递减，则f(x)正在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．②若函数正在闭区间[a，b]上缺乏递增，则f(x)正在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．③求最值时必定要戒备所给区间的开闭，倘使开区间，则不必定有最大(小)值．题型01：界说法判决或声明函数的缺乏性【例1】判决函数正在上的缺乏性，并用函数缺乏性的界说来声明.【谜底】正在上是增函数，声明主睹析【常识点】界说法判决或声明函数的缺乏性【理解】先愚弄特别值法猜念的缺乏性，再愚弄函数缺乏性的界说，纠合作差法即可得证.【详解】对待，令，得，故猜念正在上是增函数，声明如下：任取，且，则，由于，是以，，，是以，即，以是正在上是增函数.【变式1】（2025高一·寰宇·专题演习）判决函数的缺乏性并声明．【谜底】缺乏递减区间为，缺乏递增区间为，声明主睹析【常识点】界说法判决或声明函数的缺乏性【理解】遵循函数缺乏性的界说，分辨正在和上声明即可求解.【详解】对大肆，．由于，是以，．对大肆，有，从而，即；对大肆，有，从而，即．是以的缺乏递减区间为，缺乏递增区间为．【变式2】（24-25高一上·寰宇·课前预习）求证：函数正在上是减函数，正在上是增函数【谜底】声明主睹析【常识点】界说法判决或声明函数的缺乏性【理解】遵循函数缺乏性的界说，愚弄作差法，即可声明【详解】对待大肆的，且，.，，，.，即.函数正在上是增函数.对待大肆的，且，有.，，，.，即.函数正在上是减函数.【变式3】已知函数对大肆的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：正在R上为增函数；【谜底】(1)(2)声明主睹析【常识点】界说法判决或声明函数的缺乏性、求函数值【理解】（1）愚弄赋值法，求；（2）设，是上大肆两个实数，且，令，，通过函数的缺乏性的界说直接声明正在R上为增函数.【详解】（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上大肆两个实数，且，令，，则，是以，由得，是以，故，即，故此函数为R上增函数.题型02：求函数的缺乏区间【例2】（24-25高一上·福修泉州·阶段演习）函数的缺乏递减区间为（ ）A． B． C． D．【谜底】B【常识点】求函数的缺乏区间【理解】愚弄分段函数以及二次函数的缺乏性求解.【详解】当时，，则正在缺乏递减，缺乏递增，当时，则正在缺乏递增，是以的减区间为，故选：B.【变式1】函数的缺乏递增区间为 ，缺乏递减区间为 ．【谜底】 和 和【常识点】求函数的缺乏区间【理解】纠合对勾函数的缺乏性求解即可.【详解】由于，遵循对勾函数的本质得函数正在和上缺乏递减，正在和上缺乏递增，故的缺乏递增区间为和，缺乏递减区间为和．故谜底为：和；和．【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的缺乏递减区间为 .【谜底】【常识点】求函数的缺乏区间【理解】愚弄反比例函数缺乏性直接求得谜底.【详解】函数是反比例函数，其缺乏递减区间是.故谜底为：【变式3】（24-25高一上·寰宇·课后功课）函数的缺乏递减区间为 ．【谜底】和【常识点】求函数的缺乏区间【理解】清理可得，愚弄函数缺乏性的界说判决函数缺乏性.【详解】开始，的界说域为，且.而对大肆，遵循可知，即，故.又对大肆，遵循可知，故.以是正在区间上缺乏递减，正在上缺乏递减，故函数的缺乏递减区间为和．故谜底为：和．题型03：遵循函数的缺乏性求参数值【例3】（2025高一·寰宇·专题演习）已知函数满意随增大而减小，则实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】C【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值【理解】通过，，三种情形筹议即可.【详解】当，，较着吻合，当时，函数图象为启齿向下的掷物线，正在缺乏递增，不吻合，当时，函数图象为启齿向上的掷物线，正在缺乏递减，此时需满意 ，即，综上实数的取值限制是，故选：C【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有建立，则实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】B【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值【理解】由变形得，构制函数,进而遵循二次函数的缺乏性求参数.【详解】由，得，则，设函数，则对都有建立，是以函数正在区间上缺乏递增，是以，解得，则.故选：B.【点睛】闭节点点睛：本题的闭节是将变形为，从而构制函数.【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段演习）已知命题：函数正在上缺乏递减，若命题是真命题，则的取值限制是 .【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值、已知命题的真假求参数【理解】遵循二次函数和一次函数的缺乏性分类筹议求解即可.【详解】当时，正在上缺乏递减，吻合题意；当时，函数正在上缺乏递减，则，解得，综上，的取值限制是.故谜底为：【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的庄厉减函数，且正在上的函数值不恒为负，则实数的取值限制为 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值【理解】将变形取得，遵循前提，纠合反比例函数的本质，即可求解.【详解】，是以的图象可由向左平移个单元，再向上或向下平移个单元取得，又是上的庄厉减函数，且正在上的函数值不恒为负，是以，解得，故谜底为：.题型04：遵循图像判决函数缺乏性【例4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的界说域和缺乏区间分辨是 A．和 B．和C．和 D．和【谜底】D【常识点】遵循图像判决函数缺乏性【理解】遵循函数界说域和缺乏区间的界说，即可由图象判决.【详解】界说域是函数自变量的取值限制，为，函数的缺乏递增区间有2个，不行用并集，而且缺乏区间是界说域的子集，即.故选：D【变式1】（2025高三下·寰宇·专题演习）函数的图象如图所示，其缺乏递增区间是（ ） A． B． C． D．【谜底】C【常识点】遵循图像判决函数缺乏性【理解】直接遵循题干图象求有缺乏递增区间即可.【详解】由题图可知，函数的缺乏递增区间为.故选：C【变式2】（众选）（2025高三·寰宇·专题演习）（众选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法确切的是（ ）A．是函数的缺乏递增区间B．是函数的缺乏递减区间C．函数正在上缺乏递增D．函数正在上缺乏递减【谜底】ABD【常识点】遵循图像判决函数缺乏性【理解】愚弄函数图象取得缺乏性判决A，B，愚弄缺乏区间不行用并集符号结合判决C，D即可.【详解】对待A，遵循函数图象可知函数正在上缺乏递增，故A确切，对待B，遵循函数图象可知函数正在上缺乏递减，故B确切，由图象可知，，以是不行说函数正在上缺乏递增，C差池；因为函数正在时有界说，由图象可知，则为函数的一个缺乏递减区间，故函数正在上缺乏递减，D确切．.故选：ABD.【变式3】（24-25高一上·上海·随堂演习）函数正在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 .【谜底】【常识点】遵循图像判决函数缺乏性、求函数的缺乏区间【理解】遵循图象的转移情形直接求解即可.【详解】由的图象看，图象正在是上升的，正在上是降低的，是以此函数的增区间是.故谜底为：题型05：复合函数的缺乏性【例5】函数的缺乏递减区间为 ．【谜底】【常识点】复合函数的缺乏性【理解】遵循复合函数的界说域和缺乏性求解即可.【详解】由，解得，是以的界说域为，令，，由于正在上缺乏递增，正在上缺乏递减，正在上缺乏递减，是以正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，是以函数的缺乏递减区间为，故谜底为：【变式1】若函数正在上缺乏递减，则的取值限制为 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值、复合函数的缺乏性【理解】由复合函数的区间缺乏性及界说域列不等式求参数限制.【详解】由于正在上缺乏递减，是以，故．故谜底为：【变式2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的缺乏递减区间为 .【谜底】【常识点】复合函数的缺乏性、求函数的缺乏区间【理解】遵循偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的界说域，纠合二次函数的本质求得的缺乏递减区间.【详解】由，解得或，则函数的界说域是，二次函数的启齿向上，对称轴为，是以的缺乏递减区间是.故谜底为：【变式3】（2025高三·寰宇·专题演习）函数的缺乏递增区间为 ．【谜底】，【常识点】复合函数的缺乏性、求函数的缺乏区间【理解】开始求出函数的界说域，再遵循复合函数的缺乏性预备可得.【详解】令，解得且，是以的界说域为，又是一个复合函数，它由与复合而成．由下外可知，的缺乏递增区间为，． 缺乏递减 缺乏递减 缺乏递增 缺乏递减 缺乏递减 缺乏递增 缺乏递增 缺乏递减 缺乏递减 缺乏递增 缺乏递减 缺乏递减故谜底为：，题型06：愚弄函数缺乏性求最值或值域【例6】函数正在上的最小值是（ ）A．4 B． C． D．5【谜底】B【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】由对勾函数的缺乏性求解.【详解】由对勾函数的缺乏性知,函数正在上缺乏递增，是以．故选：B【变式1】函数正在区间上的最小值是（ ）A．0 B．1 C． D．4【谜底】A【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】分段去掉绝对值符号，愚弄缺乏性求解可得.【详解】，则正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，故．故选：A【变式2】已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）A． B． C．2 D．3【谜底】A【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】求解函数的界说域，并对实行平方，进而判决其缺乏性，取得最值．【详解】由题意得函数的界说域满意，且，解得，则函数的界说域为．由得，则正在区间内的最大值为，最小值为．易知函数正在区间内缺乏递增，正在区间内缺乏递减，是以函数正在区间内缺乏递增，正在区间内缺乏递减，则函数正在处得到最大值，即，又，是以函数的最小值为6，即．是以．故选：A【变式3】（2025高一·寰宇·专题演习）已知，若的最小值为，写出的外达式．【谜底】【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】筹议函数的对称轴和区间的地点联系，即可得最值．【详解】由题意可知，函数的图象的对称轴为直线所示，函数正在区间上缺乏递减，是以最小值，即．②当，即时，如图2所示，最小值．③当时，如图3所示，函数正在区间上缺乏递增，是以最小值．综上，．【变式4】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数缺乏性的界说声明：函数正在上缺乏递增；(2)求函数正在区间上的最大值和最小值.【谜底】(1)声明主睹析(2)最大值为1，最小值为.【常识点】界说法判决或声明函数的缺乏性、愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】（1）任取，且，然后化简变形，判决符号，从而可得结论；（2）由（1）知正在区间上缺乏递增，从而愚弄其缺乏性可求出其最值.【详解】（1）声明：任取，且，则由于，，是以，，，是以，即，是以正在上缺乏递增.（2）由（1）知正在区间上缺乏递增，是以，，是以函数正在区间上的最大值为1，最小值为.题型07：遵循函数的最值求参数【例7】（24-25高一上·安徽亳州·阶段演习）若函数正在上的最大值为，则（ ）A． B．1 C． D．【谜底】D【常识点】遵循函数的最值求参数【理解】分、和三种情形筹议，探讨其缺乏性，遵循最大值设置方程求解即可.【详解】由于，是以当时，正在上缺乏递减，则，解得，与抵触，不吻合题意；当时，遵循对勾函数缺乏性可知，函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，故当时，函数正在上缺乏递增，则正在上缺乏递减，是以，解得，吻合题意；当时，函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，函数正在上缺乏递增，正在上缺乏递减，是以，解得，与抵触，不吻合题意；综上所述，.故选：D【变式1】（众选）（24-25高一下·云南昭通·阶段演习）若函数的最小值为，则实数的取值大概为（ ）A． B． C．1 D．2【谜底】BC【常识点】基础不等式乞降的最小值、遵循函数的最值求参数【理解】由基础不等式求适宜，时的限制，进而可求解.【详解】当时，；当时：，当且仅当，即时等号，此时.当时，，当且仅当，即时等号，此时，综上，.若，则，由题，是以；若，则，由题，是以，故选：BC.【变式2】（24-25高一上·寰宇·课前预习）函数正在上的最大值为，则 .【谜底】【常识点】遵循函数的最值求参数【理解】遵循和分类判决出函数正在上的缺乏性，即可得出函数的最值，愚弄最值列式求解即可.【详解】易知，是由向左平移1个单元取得，当时，即正在上缺乏递减，是以正在上缺乏递减，是以，解得，与抵触；当时，即正在上缺乏递增，是以正在上缺乏递增，是以，解得.故谜底为：.【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，闭于的函数正在区间上是庄厉减函数，且正在该区间函数值不恒为负，则实数 .【谜底】或0【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值、遵循函数的最值求参数【理解】进步行星散变形，然后纠合反比例函数的缺乏性即可求解.【详解】由已知，，又函数正在区间上是庄厉减函数，且函数值不恒为负，是以，解得，又由于，是以或0.故谜底为：或0.【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【谜底】或3【常识点】遵循函数的最值求参数【理解】遵循给定前提，按分类筹议求出最小值即可得解.【详解】当时，正在上缺乏递增，当时，，解得，以是；当时，，，解得或，无解；当时，正在上缺乏递减，当时，，解得，以是，是以或.故谜底为：或3题型08：遵循解析式直接判决函数的缺乏性【例8】下列说法确切的是（ ）A．正在上缺乏递增 B．正在上缺乏递增C．正在和上缺乏递减 D．正在上缺乏递减【谜底】C【常识点】遵循解析式直接判决函数的缺乏性【理解】愚弄二次、绝对值、分式、初等函数的缺乏性判决各函数正在对应区间的缺乏性即可.【详解】的图象启齿向上，对称轴为直线，故正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，A差池；当时，，缺乏递减，B差池；的图象是由的图象向右平移2个单元长度取得的，故正在和上缺乏递减，C确切；由于和均正在上缺乏递增，由增函数+增函数＝增函数，D差池．故选：C【变式1】下列函数正在区间上缺乏递增的是（ ）A． B． C． D．【谜底】C【常识点】遵循解析式直接判决函数的缺乏性【理解】遵循函数解析式直接判决即可.【详解】为上的减函数；，正在上缺乏递减；为上的增函数，吻合题意；正在上缺乏递减；故选：C【变式2】（24-25高一上·寰宇·周测）下列函数为增函数的是（ ）A． B． C． D．【谜底】B【常识点】遵循解析式直接判决函数的缺乏性【理解】纠合基础函数的缺乏性，实行判决即可.【详解】正在缺乏递减，故A差池；界说域为，且正在上缺乏递增，故B确切；正在上缺乏递减，故C差池；正在上缺乏递减，故D差池．故选：B【变式3】（众选）（24-25高一上·寰宇·课前预习）（众选题）闭于函数的缺乏性的阐发确切的是（ ）A．函数正在上是递增的B．函数正在上是递增的C．函数正在上是递增的D．函数的递增区间是和【谜底】AD【常识点】遵循解析式直接判决函数的缺乏性【理解】遵循反比例函数的图象及函数缺乏性的界说可判决.【详解】作出函数的图象，界说域为，函数的缺乏区间之间不行用并集样子，故BC差池，纠合函数图象可知，函数正在和上都是递增的.故选：AD.题型09：对照函数值的巨细联系【例9】若函数正在上缺乏递增，则下列必定建立的是（ ）A． B． C． D．【谜底】D【常识点】对照函数值的巨细联系【理解】遵循函数缺乏性，纠合和的符号的大概性即可得解.【详解】由题意得，即，因为，的正负未知，故A，B，C不必定建立．故选：D【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知界说正在上的函数满意，且正在上缺乏递减，则，的巨细按序是（ ）A． B．C． D．【谜底】C【常识点】对照函数值的巨细联系【理解】遵循给定前提可得，再愚弄缺乏性对照巨细即得.【详解】依题意，，由正在上缺乏递减，，得，是以.故选：C【变式2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知正在上是减函数，，若，则下列确切的是（ ）A． B．C． D．以上都大概【谜底】C【常识点】对照函数值的巨细联系【理解】由减函数的本质求解即可；【详解】由于正在上是减函数，是以，若，则，故选：C.【变式3】已知函数的界说域为，且函数正在上缺乏递减，则与的巨细联系为 ．【谜底】【常识点】对照函数值的巨细联系【详解】由于，函数正在区间上缺乏递减，是以．题型10：遵循函数的缺乏性解不等式【例10】已知正在界说域上是减函数，且，则a的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】C【常识点】遵循函数的缺乏性解不等式【详解】由解得．【变式1】已知为上的减函数，则满意的实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】B【常识点】遵循函数的缺乏性解不等式【详解】由于为上的减函数，且，是以，即，解得或．【变式2】（2025高一·寰宇·专题演习）已知函数，若，则实数的取值限制为 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性解不等式【理解】作出函数的图象，理解该函数的缺乏性，纠合所求不等式可得出闭于的不等式，解之即可.【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图可知，正在上是减函数．由于，是以，即，即，解得，是以实数的取值限制为．故谜底为：．【变式3】已知函数的界说域为R，对大肆的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性解不等式、界说法判决或声明函数的缺乏性【理解】先由题设纠合赋值法求出和，接着求出函数是缺乏递减函数，再愚弄函数缺乏性得，解该不等式即可得解.【详解】由于对大肆的a，，都有，，且，是以，且．设大肆，则，则，又，是以，若，则当时，，则，抵触，是以，是以，是以函数缺乏递减，是以不等式等价于，是以，故，即，解得．是以不等式的解集是．故谜底为：题型11：函数不等式恒建立（能建立）题目【例11】（24-25高一上·福修南平·期中）已知函数，若对均有建立，则实数的取值限制为（ ）A． B． C． D．【谜底】D【常识点】函数不等式恒建立题目、函数不等式能建立（有解）题目【理解】求出函数正在上的最小值，可得出，再纠合恒建立可求得实数的取值限制.【详解】由于，则该函数正在上为增函数，当时，，由于对均有，是以，，则，解得.故选：D.【变式1】已知函数，且，．若，使得不等式建立，则实数m的取值限制为（ ）A． B． C． D．【谜底】A【常识点】函数不等式恒建立题目【理解】由已知求得函数解析式，然后纠合对勾函数的本质求得的取值限制（最大值和最小值），再纠合不等式有解得参数限制.【详解】由题意，得解得，，是以．当时，，由于函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增（破瓶颈：咱们称形如的函数为对勾函数，该函数的界说域为，正在，上缺乏递减，正在，上缺乏递增），当时，；当或时，，是以，则．不等式，即，则正在上有解，是以且，即，则实数m的取值限制为．故选：A.【变式2】（众选）（24-25高一上·广东湛江·阶段演习）已知不等式正在上有解，则实数的取值可认为（ ）A． B． C． D．【谜底】AB【常识点】一元二次不等式正在某区间上有解题目、函数不等式能建立（有解）题目【理解】变换取得正在上有解，设，则，取得，遵循对勾函数的缺乏性预备最值取得谜底.【详解】由，即，，故正在上有解，设，则，则，由于函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，且当时，；当时，，则的最大值为，故.故选：AB.【变式3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存正在，存正在，使，则实数的取值限制是 ．【谜底】【常识点】函数不等式能建立（有解）题目【理解】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用星散参数的步骤即可．【详解】，是以正在时缺乏递减，是以，，即；由于对存正在，存正在，使，是以，是以存正在，使得，即，即能建立，令，则要使正在能建立，只需使，遵循增函数减减函数易知：函数正在上缺乏增，是以，故只需，是以的取值限制是．故谜底为：．【变式4】（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数，，，.对待大肆的，存正在，使得，则的取值限制是 ．【谜底】【常识点】函数不等式恒建立题目、函数不等式能建立（有解）题目【理解】遵循前提，取得，由题设有，再分和两种情形，求出的最小值，即可求解.【详解】由于，，是以，又对待大肆的，存正在，使得，则，又，，当时，，是以，解得，当时，，是以，解得，综上，的取值限制是，故谜底为：.【变式5】（2025高一·寰宇·专题演习）界说正在上的函数满意当时，，且对大肆的，，有．声明：(1)；(2)对大肆的恒有；(3)是增函数．【谜底】(1)声明主睹析；(2)声明主睹析；(3)声明主睹析.【常识点】函数不等式恒建立题目、界说法判决或声明函数的缺乏性、求函数值【理解】（1）令代入联系式，纠合已知求值，即可证；（2）令取得，再由已知得，则，纠合（1）结论，即可证；（3）法一：使用作商法，法二：使用作差法，纠合函数缺乏性界说判决声明.【详解】（1）令，则，又，故；（2）令，则，即，由题意，当时，则，有，是以，又，是以；（3）法一：，且，令，则，则，由于，是以，，是以，是增函数；法二：，且，是以，由，得，又，是以，即，是以是增函数.【变式6】（24-25高一上·河北廊坊·阶段演习）已知函数（）(1)设函数正在区间上的最小值为，求的外达式；(2)对（1）中的，当，时，恒有建立，务实数m的取值限制．【谜底】(1)(2)【常识点】函数不等式恒建立题目、求二次函数的值域或最值【理解】（1）由函数的图象是启齿向上掷物线，且对称轴为，分类筹议，求得函数的最大值，进而求得的外达式；（2）当时，求得，转化为当，恒有，令，取得，分类筹议，求得的取值限制，即可求解.【详解】（1）解：函数的图象是启齿向上掷物线，且对称轴为，当时，函数正在区间上缺乏递增，是以；当时，函数正在区间上缺乏递减，是以；当时，函数正在区间上缺乏递减，正在区间上缺乏递增，是以，是以的外达式为.（2）解：当时，可得，可得，由于当，恒有建立，是以当，恒有，令，则，当时，即时，，解得，是以；当时，即时，，解得，是以，综上所述，实数的取值限制是.题型12：分段函数的值域或最值【例12】若函数存正在最小值，则m的最大值为 ．【谜底】4【常识点】分段函数的值域或最值、愚弄函数缺乏性求最值或值域【理解】开始得出函数缺乏性，画出函数图象，进一步遵循题意列不等式即可求解.【详解】由于函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，是以正在R上的最小值为0．由于函数，图象启齿向上且对称轴为，是以函数正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，是以正在R上的最小值为．综上，对待，当时，正在上缺乏递减，正在，上缺乏递增，且，则的大致图象如图所示．由图可知，若存正在最小值，则，解得，故m的最大值为4．故谜底为：4.【变式1】已知函数正在处得到最小值，则的取值限制是 【谜底】【常识点】分段函数的本质及使用、分段函数的值域或最值【理解】纠合函数的缺乏性和最小值界说求解即可.【详解】当时，缺乏递减，当时，缺乏递增，由于正在处得到最小值，是以，解得，故的取值限制是．故谜底为：.【变式2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段演习）已知函数的值域为R，则m的取值限制是 ．【谜底】【常识点】分段函数的值域或最值【理解】要使得函数的值域为R，纠合一次函数的本质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为的值域为R，当时，，是以，解得．故m的限制是.故谜底为：.【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数倘使的最小值，则实数a的取值限制是 ．【谜底】【常识点】基础不等式乞降的最小值、分段函数的值域或最值【理解】当时探求函数的最小值，再探求当时，函数的取值限制，列式求解作答.【详解】当时，若，即，有，正在上递减，正在上递增，则与是的最小值抵触，若，即，有正在上递减，是以，，则，当时，函数，当且仅当，即时等号建立，因是的最小值，则有，解得，是以的取值限制为.故谜底为：.【变式4】（2025高一上·寰宇·专题演习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满意，则的取值限制是 ．【谜底】 0 【常识点】解分段函数不等式、分段函数的值域或最值【理解】遵循分段函数图像易得最小值为0；分段解不等式即可.【详解】作出的图象如图所示： 是以当时，函数得到最小值0．当时，即，解得，又，是以；当时，即，即，解得，又，是以．综上，的取值限制是.故谜底为：.题型13：遵循值域求参数的值或者限制【例13】（24-25高一上·上海·阶段演习）已知，若函数的值域为，则的取值限制是 ．【谜底】【常识点】遵循值域求参数的值或者限制、繁复（根式型、分式型等）函数的值域【理解】遵循给定前提，求出函数值域包罗的限制即可.【详解】由函数的值域为，得函数值域包罗，则，解得，是以的取值限制是.故谜底为：【变式1】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的界说域为，值域为，则实数的取值限制是 ．【谜底】【常识点】遵循值域求参数的值或者限制、求二次函数的值域或最值【理解】遵循函数正在界说域上递减，且值域为，可得，遵循二次函数的本质可得谜底.【详解】由于函数正在界说域上递减，且值域为，是以 ，即 ，即 ，是以 ，是以，设，则，由可得，正在上递增，是以，是以实数的取值限制是，故谜底为：.【变式2】（24-25高一上·寰宇·课后功课）若函数正在区间内的值域为，则的取值限制为 ．【谜底】【常识点】遵循值域求参数的值或者限制、分段函数的值域或最值【理解】分情形筹议，纠合缺乏性即可求.【详解】当时，，是以正在区间内缺乏递增，值域为，是以，解得，是以；当时，，是以正在区间内缺乏递减，值域为，则，，解得，是以；当时，，是以正在区间上缺乏递减，正在上缺乏递增，故值域为或，若,则；若,则，综上，的取值限制为．故谜底为：题型14：遵循分段函数的缺乏性求参数【例14】已知函数是上的减函数，则实数a的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】B【常识点】遵循分段函数的缺乏性求参数【详解】当时，是缺乏递减的，即有，解得；当时，函数是缺乏递减的，分界点处的值应满意，解得．综上，．【变式1】（22-23高一上·上海青浦·阶段演习）已知函数，是上的庄厉增函数，则实数的取值限制是 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值、遵循分段函数的缺乏性求参数【理解】遵循题意，纠合分段函数的本质，列出不等式组，即可求解.【详解】由于函数是上的庄厉增函数，则满意 ，解得，故实数的取值限制是.故谜底为：． 【变式2】（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知正在区间上是缺乏减函数，则实数的取值限制为 ．【谜底】【常识点】遵循函数的缺乏性求参数值、遵循分段函数的缺乏性求参数【理解】遵循给定的分段函数缺乏性，纠合反比例函数、二次函数缺乏性列出不等式组求解.【详解】依题意，，解得，是以实数的取值限制为.故谜底为：【变式3】（24-25高一上·寰宇·课前预习）若函数正在上为增函数，求的取值限制.【谜底】【常识点】遵循分段函数的缺乏性求参数【理解】遵循分段函数的缺乏性求解即可.【详解】由正在上递增，则，即.正在上递增，则，又正在上为增函数，是以还需，得.综上：的取值限制是.题型15：分段函数的缺乏性【例15】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的缺乏递减区间为（ ）A． B．C．和 D．【谜底】C【常识点】判决二次函数的缺乏性和求解缺乏区间、分段函数的缺乏性【理解】分，两种情形筹议，并遵循解析式直接判决即可．【详解】函数的界说域为，当时，缺乏递减，当时，，正在缺乏递减，正在缺乏递增，故的缺乏减区间为和.故选：C.【变式1】已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ）A．敷裕不须要前提 B．须要不敷裕前提C．充要前提 D．既不敷裕也不须要前提【谜底】A【常识点】判决命题的敷裕不须要前提、遵循分段函数的缺乏性求参数、分段函数的缺乏性【理解】遵循分段函数缺乏性及敷裕须要前提的观念判决即可.【详解】当时，是上的增函数，而由函数是上的增函数，可得，即得，推不出.则“”是“函数是上的增函数”的敷裕不须要前提.故选：A.【变式2】已知函数，若，则实数的取值限制是（ ）A． B．C． D．【谜底】A【常识点】解分段函数不等式、分段函数的缺乏性【理解】纠合二次函数本质判决函数的缺乏性，再借助缺乏性求解不等式作答.【详解】由于正在上缺乏递增，正在上缺乏递增，且接二连三，可知函数正在R上缺乏递增，则，可得，解得，是以实数的取值限制是.故选：A.【变式3】（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的缺乏递增区间为 ．【谜底】 【常识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的缺乏性【理解】代入求出函数值；愚弄分段函数缺乏性求出递增区间.【详解】函数，则；函数正在上缺乏递增，正在上缺乏递增，而当时，，是以函数的缺乏递增区是.故谜底为：；题型16：遵循分段函数的值域（最值）求参数【例16】（23-24高一上·福修龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值限制（ ）A． B． C． D．【谜底】A【常识点】遵循值域求参数的值或者限制、遵循二次函数的最值或值域求参数、遵循分段函数的值域（最值）求参数【理解】开始理解函数的取值情形，从而判决，再纠合取得，再分和两种情形筹议，当时纠合函数正在上的缺乏性，取得，从而求出的取值限制.【详解】对待函数，当时，，当时，，而，即有，依题意，，又，解得，则；当时，函数正在上的取值咸集为，不吻合题意，当，函数正在上缺乏递增，则，是以，解得，是以实数的取值限制是. 故选：A【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数的值域是，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】C【常识点】遵循分段函数的值域（最值）求参数【理解】通过函数解析式理解每个分段的值域，由于，值域为，是以，的值域应包罗，是以判决出函数的缺乏性和限制，从而求出实数的取值限制.【详解】当时，，其启齿向上，对称轴为，值域为，由函数的值域是，则当时，的值域应包罗，所认为减函数，是以，解得，故的取值限制是.故选：C【变式2】已知函数，正在上的最大值为，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】D【常识点】遵循二次函数的最值或值域求参数、判决二次函数的缺乏性和求解缺乏区间、遵循分段函数的值域（最值）求参数【理解】由区间，斟酌函数的第二个分段和第三个分段，再遵循缺乏区间分，和三种情形筹议．【详解】由已知，函数正在上缺乏递减，正在和上缺乏递增，当时，正在上缺乏递增，即函数的最大值为，吻合；当时，正在上缺乏递增，正在上缺乏递减，即函数的最大值为，不吻合；当时，正在和上缺乏递增，正在上缺乏递减，此时的最大值为，则，即，解得．综上所述，.故选：D【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存正在最小值，则实数a的取值限制为 .【谜底】【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域、遵循分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值【理解】遵循分段函数解析式，开始由二次函数本质确定上的缺乏性和最值，再筹议参数a，纠合的缺乏性及存正在最小值，求参数限制.【详解】由正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，最小值为，若，正在上缺乏递增，其值域为，此时不存正在最小值，不吻合；若，则正在上，此时存正在最小值，满意；若，正在上缺乏递减，其值域为，此时，要使函数存正在最小值，只需，即，故；综上，实数a的取值限制.故谜底为：.【变式4】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值限制为 .【谜底】【常识点】愚弄函数缺乏性求最值或值域、遵循分段函数的值域（最值）求参数【理解】遵循分段函数解析式由二次函数缺乏性以及基础不等式求得两片面得到最小值的外达式，解不等式即可得出结果.【详解】当时，，由于的图象闭于对称，若最小值为，可知，即可得；又当时，，当且仅当时等号建立；若最小值为可得，即，解得；综上可知，实数的取值限制为.故谜底为：一、单选题1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒建立，则的取值能够是（ ）A． B．C． D．【谜底】D【理解】愚弄恒建立的不等式星散参数，借助二次函数求出最大值即可.【详解】当时，不等式，依题意，恒建立，而当时，，当且仅时取等号，以是，ABC不是，D是.故选：D2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段演习）若界说运算，则函数的值域是（ ）A． B．C． D．【谜底】D【理解】由题可得解析式，据此可得谜底.【详解】由题，.戒备到正在上缺乏递增，正在上缺乏递减，则正在上缺乏递增，正在上缺乏递减，则，即值域为.故选：D3．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是界说域为上的增函数，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．【谜底】D【理解】由分段函数的缺乏性取得求解即可；【详解】由是上的增函数，需满意：解得，故选：D.4．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数界说域为，，，，且，，则实数的取值限制是（ ）A． B．C． D．【谜底】B【理解】由题可得正在上递增，然后将化为，由缺乏性纠合界说域可得谜底.【详解】由前提得，，，正在上递增.由得，则或．故选：B．二、众选题5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的界说域是都有，且当时，，且，则下列说法确切的是（ ）A．B．函数正在上缺乏递增C．D．满意不等式的的取值限制是【谜底】ABD【理解】A选项，令得；B选项：由函数缺乏性的界说判决函数的缺乏性；C选项，赋值取得；D选项，遵循C选项，由求得，，变形取得，纠合正在界说域上缺乏递增，取得不等式，求出解集.【详解】A选项，令得，∴，A确切；B选项，任选，且，中，令，得，由于当时，，又，是以，故，是以正在界说域上缺乏递增，B确切；C选项，中，令得，故，故，C差池；D选项，由于，是以，中，令得，∵，∴，因为正在界说域上缺乏递增，故，解得，D确切.故选：ABD6．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段演习）已知界说正在的函数满意：当时，恒有，则（ ）A．B．函数正在区间为增函数C．函数正在区间为增函数D．【谜底】ABD【理解】愚弄赋值法则，即可判决选项A；没关系设，设，愚弄界说声明其缺乏性即可判决选项B；设，愚弄界说即可判决选项C；由函数正在为增函数，是以，，纠合声明，即可判决选项D.【详解】依题意，当时，恒有，令则，即，是以，故A确切；没关系设，设，则，由于，是以，是以，是以正在为增函数，故B确切；设，的符号无法判决，是以的缺乏性无法判决，故C差池；由上述判决可知，函数正在为增函数，是以，是以，是以，同理，是以，是以，是以，故D确切；故选：ABD.7．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数则下列结论确切的是（ ）A．若，则B．若正在上缺乏递增，则的值可认为C．存正在，使得正在上缺乏递减D．若的值域为，则的取值限制为【谜底】ABD【理解】对待A，遵循分段函数的解析式，代入值，可得谜底；对待BC，遵循一次函数以及二次函数缺乏性，纠合分段函数的缺乏性，设置不等式组，可得谜底；对待D，遵循分段函数的值域与一次函数的缺乏性，纠合二次函数的缺乏性分情形求得指定区间上的最值，可得谜底.【详解】由题意得，得，得，A确切；若正在上缺乏递增，则，得，B确切；若正在上缺乏递减，则，不等式组无解，C差池；若的值域为，则，得正在上缺乏递增．当时，正在上缺乏递增，则，得，即．当时，正在上缺乏递减，正在上缺乏递增，则，得恒建立，即2．综上，的取值限制为，D确切．故选：ABD.三、填空题8．（24-25高一上·四川遂宁·阶段演习）当时，的最小值是 ．【谜底】4【理解】愚弄对勾函数缺乏性求出最小值.【详解】函数正在上缺乏递增，是以当时，函数得到最小值.故谜底为：4.9．（24-25高一上·河南郑州·阶段演习）若函数正在区间上是减函数，则实数的取值限制是 ．【谜底】【理解】遵循复合函数的缺乏性即可取得不等式，解出即可.【详解】由题意，解得．故谜底为：.10．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数正在上缺乏递增，则实数的取值限制为 ．【谜底】【理解】遵循函数的缺乏性列不等式组，由此求得的取值限制.【详解】若使正在上缺乏递增，则；若使正在上缺乏递增，则．若使函数正在上缺乏递增，则解得，故实数的取值限制为．故谜底为：【点睛】步骤点睛：办理分段函数缺乏性题目，闭节是分辨理解各段函数的缺乏性，对待二次函数，遵循对称轴与缺乏性的联系确定参数限制；对待一次函数，遵循的系数与缺乏性的联系确定参数限制.11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段演习）设函数正在区间上的最大值和最小值分辨为，则 .【谜底】【理解】采用星散参数法理解函数的缺乏性，确定函数的最大、最小值即可求解.【详解】由于，由于时，，跟着的增大，函数的值越来越小，即函数正在上缺乏递减.是以，.是以.故谜底为：12．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数正在上是增函数，，，且对大肆，均有，则 ．【谜底】【理解】可遵循已知前提，通过对实行变形，纠合函数正在上的缺乏性及已知函数值来求解.【详解】由于，那么. 已知函数是上的增函数，且，.由于，令，可得.令，则，是以.因为函数正在上缺乏递增，且，是以当时，.又由于，是以. 将代入，可得.故谜底为：1.13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数正在界说域上缺乏递增，则的取值限制为 ．【谜底】【理解】由缺乏递增得出所满意的不等式组，求解即可.【详解】分段函数假如缺乏递增函数，务必每一段都是缺乏递增函数，且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.是以，解得.是以的取值限制为.故谜底为：.14．（23-24高一上·四川成都·期中）已知满意，，都有，则实数的取值限制为 ．【谜底】【理解】由题意取得的缺乏性，从而愚弄分段函数的本质，纠合二次函数与一次函数的缺乏性即可得解.【详解】由于，，都有，是以正在上为增函数，当时，，易知函数正在上为增函数；当时，则，解得，综上，，则a的取值限制为，故谜底为：．四、解答题15．（24-25高一上·福修厦门·期中）已知函数，．(1)判决函数正在上的缺乏性，并用函数缺乏性的界说给与声明；(2)求函数，的最大值和最小值．【谜底】(1)正在上缺乏递增，声明主睹析(2)，【理解】（1）遵循缺乏性的界说声明即可；（2）纠合（1）中函数的缺乏性求出函数的最值.【详解】（1）正在上缺乏递增，声明如下：设大肆的且，则，由于且，是以，，，是以，是以，即，是以正在上缺乏递增；（2）由（1）可知正在上缺乏递增，是以，.16．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数．(1)求的最小值；(2)若，务实数的取值限制．【谜底】(1)2(2)【理解】（1）愚弄基础不等式的本质，愚弄取等前提，取得谜底.（2）愚弄函数缺乏性，取得不等式实行预备，取得谜底.【详解】（1），当且仅马上时取等号，故的最小值为2，（2）易知正在上缺乏递增，由于，故，清理得，即，解得，故所求为．17．（24-25高一上·福修龙岩·期末）已知函数.(1)用界说法声明函数正在区间上缺乏递增；(2)对大肆的都有建立，务实数的取值限制.【谜底】(1)声明主睹析(2)【理解】（1）愚弄缺乏性的界说遵循设施声明即可；（2）纠合函数的缺乏性求出，然后愚弄基础不等式求得，最终解一元二次不等式即可得解.【详解】（1）声明：取大肆，，且，有，由，可得，，是以，即，是以正在上缺乏递增.（2）由正在上缺乏递增，可得正在上，，依题意得，，又，当且仅当，即，即时取等号，是以，即，解得，是以实数的取值限制是.18．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数(1)求的值；(2)用界说声明函数正在区间上是增函数；(3)求不等式的解集．【谜底】(1)谜底主睹析(2)声明主睹析(3)【理解】（1）遵循自变量的限制，直接代入即可求解，（2）遵循缺乏性的界说即可求解，（3）分类筹议即可求解.【详解】（1）当时，，则，当时，，则，（2）任取，故，因为,是以，以是，故，以是函数正在区间上是增函数，（3）当时，由时，，解得或，当时，由时，，解得，综上可得不等式的解集为．19．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数.(1)求函数的界说域；(2)判决函数的缺乏性，并用界说声明；(3)解不等式.【谜底】(1)(2)是减函数，声明主睹析(3)或.【理解】（1）遵循根式以及分式的本质即可求解，（2）遵循缺乏性的界说即可求解，（3）遵循缺乏性以及界说域，列不等式求解.【详解】（1）要使函数蓄谋义，则且，即，是以函数界说域为.（2）是减函数.声明如下：设，且，则.由于，是以.是以.是以，即.是以是减函数.（3）函数的界说域为，要蓄谋义，则，即，要蓄谋义，则.由于是减函数，由，得，即，解得或.综上得或.是以不等式的解集为或.1学科网（北京）股份有限公司$$ 第11讲 函数的缺乏性与最大（小）值常识清单常识点01：函数的缺乏性 2常识点02：函数缺乏性的判决与声明 3常识点03：函数的最大（小）值 3题型归结题型01：界说法判决或声明函数的缺乏性 4题型02：求函数的缺乏区间 6题型03：遵循函数的缺乏性求参数值 6题型04：遵循图像判决函数缺乏性 7题型05：复合函数的缺乏性 8题型06：愚弄函数缺乏性求最值或值域 8题型07：遵循函数的最值求参数 9题型08：遵循解析式直接判决函数的缺乏性 10题型09：对照函数值的巨细联系 11题型10：遵循函数的缺乏性解不等式 11题型11：函数不等式恒建立（能建立）题目 12题型12：分段函数的值域或最值 13题型13：遵循值域求参数的值或者限制 14题型14：遵循分段函数的缺乏性求参数 14题型15：分段函数的缺乏性 15题型16：遵循分段函数的值域（最值）求参数 16加强操练 17常识点01：函数的缺乏性1.函数的缺乏性通常地，设函数f(x)的界说域为D，区间I⊆D：倘使∀x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)正在区间I上缺乏递增．格外地，当函数f(x)正在它的界说域上缺乏递增时，咱们就称它是增函数．倘使∀x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)正在区间I上缺乏递减．格外地，当函数f(x)正在它的界说域上缺乏递减时，咱们就称它是减函数．2.复合函数的缺乏性复合函数的缺乏性:通常地,对待复合函数y=f(g(x)),缺乏性如下外所示,简记为“界说域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数缺乏性一样时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数缺乏性分歧时,复合函数为减函数,若一个函数是由众个大略函数复合而成的则此复合函数的缺乏性由大略函数中减函数的个数决议.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.【步骤总结】判决复合函数缺乏性的设施:先求函数的界说域,接着领悟复合函数,再判决每一层函数的缺乏性,最终遵循复合函数的缺乏性确定函数的缺乏性3.概括函数的缺乏性概括函数是指没有给出整体解析式的函数判决概括函数缺乏性的步骤:(1)凑:凑界说或凑已知,愚弄界说或已知前提得出结论;(2)赋值:给变量赋值要遵循前提与结论的联系,有时大概要实行众次测试,4.由函数缺乏性求参数限制的处分步骤(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判决启齿宗旨与对称轴——愚弄缺乏性确定参数满意的前提．若为一次函数——由一次项系数的正负决议缺乏性．若为分段函数——数形纠合，每一段的函数的缺乏性均要斟酌，并戒备临界值的巨细．物色参数满意的前提．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，能够按照函数缺乏性的界说和本质，将符号“f”去掉，列出闭于自变量的不等式(组)，然后求解，此时戒备函数的界说域．常识点02：函数缺乏性的判决与声明愚弄界说声明函数缺乏性的设施(1)取值并规则巨细：设x1，x2是该区间内的大肆两个值，且x1x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式领悟、通分、配方、有理化等步骤，转化为易判决正负的联系式．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确依时，实行分类筹议．(4)结论：遵循界说确定缺乏性．常识点03：函数的最大（小）值1.函数的最值通常地，设函数y＝f(x)的界说域为D，倘使存正在实数M满意：(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.那么，咱们称M是函数y＝f(x)的最大值．通常地，设函数y＝f(x)的界说域为D，倘使存正在实数M满意：(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.那么，咱们称M是函数y＝f(x)的最小值．2.图象法求函数最值的通常设施3.愚弄缺乏性求最值的通常设施①判决函数的缺乏性．②愚弄缺乏性写出最值．4.函数的最值与缺乏性的联系①若函数正在闭区间[a，b]上缺乏递减，则f(x)正在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．②若函数正在闭区间[a，b]上缺乏递增，则f(x)正在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．③求最值时必定要戒备所给区间的开闭，倘使开区间，则不必定有最大(小)值．题型01：界说法判决或声明函数的缺乏性【例1】判决函数正在上的缺乏性，并用函数缺乏性的界说来声明.【变式1】（2025高一·寰宇·专题演习）判决函数的缺乏性并声明．【变式2】（24-25高一上·寰宇·课前预习）求证：函数正在上是减函数，正在上是增函数【变式3】已知函数对大肆的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：正在R上为增函数；题型02：求函数的缺乏区间【例2】（24-25高一上·福修泉州·阶段演习）函数的缺乏递减区间为（ ）A． B． C． D．【变式1】函数的缺乏递增区间为 ，缺乏递减区间为 ．【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的缺乏递减区间为 .【变式3】（24-25高一上·寰宇·课后功课）函数的缺乏递减区间为 ．题型03：遵循函数的缺乏性求参数值【例3】（2025高一·寰宇·专题演习）已知函数满意随增大而减小，则实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有建立，则实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段演习）已知命题：函数正在上缺乏递减，若命题是真命题，则的取值限制是 .【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的庄厉减函数，且正在上的函数值不恒为负，则实数的取值限制为 ．题型04：遵循图像判决函数缺乏性【例4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的界说域和缺乏区间分辨是 A．和 B．和C．和 D．和【变式1】（2025高三下·寰宇·专题演习）函数的图象如图所示，其缺乏递增区间是（ ） A． B． C． D．【变式2】（众选）（2025高三·寰宇·专题演习）（众选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法确切的是（ ）A．是函数的缺乏递增区间B．是函数的缺乏递减区间C．函数正在上缺乏递增D．函数正在上缺乏递减【变式3】（24-25高一上·上海·随堂演习）函数正在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 .题型05：复合函数的缺乏性【例5】函数的缺乏递减区间为 ．【变式1】若函数正在上缺乏递减，则的取值限制为 ．【变式2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的缺乏递减区间为 .【变式3】（2025高三·寰宇·专题演习）函数的缺乏递增区间为 ．题型06：愚弄函数缺乏性求最值或值域【例6】函数正在上的最小值是（ ）A．4 B． C． D．5【变式1】函数正在区间上的最小值是（ ）A．0 B．1 C． D．4【变式2】已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）A． B． C．2 D．3【变式3】（2025高一·寰宇·专题演习）已知，若的最小值为，写出的外达式．【变式4】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数缺乏性的界说声明：函数正在上缺乏递增；(2)求函数正在区间上的最大值和最小值.题型07：遵循函数的最值求参数【例7】（24-25高一上·安徽亳州·阶段演习）若函数正在上的最大值为，则（ ）A． B．1 C． D．【变式1】（众选）（24-25高一下·云南昭通·阶段演习）若函数的最小值为，则实数的取值大概为（ ）A． B． C．1 D．2【变式2】（24-25高一上·寰宇·课前预习）函数正在上的最大值为，则 .【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，闭于的函数正在区间上是庄厉减函数，且正在该区间函数值不恒为负，则实数 .【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 题型08：遵循解析式直接判决函数的缺乏性【例8】下列说法确切的是（ ）A．正在上缺乏递增 B．正在上缺乏递增C．正在和上缺乏递减 D．正在上缺乏递减【变式1】下列函数正在区间上缺乏递增的是（ ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·寰宇·周测）下列函数为增函数的是（ ）A． B． C． D．【变式3】（众选）（24-25高一上·寰宇·课前预习）（众选题）闭于函数的缺乏性的阐发确切的是（ ）A．函数正在上是递增的B．函数正在上是递增的C．函数正在上是递增的D．函数的递增区间是和题型09：对照函数值的巨细联系【例9】若函数正在上缺乏递增，则下列必定建立的是（ ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知界说正在上的函数满意，且正在上缺乏递减，则，的巨细按序是（ ）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知正在上是减函数，，若，则下列确切的是（ ）A． B．C． D．以上都大概【变式3】已知函数的界说域为，且函数正在上缺乏递减，则与的巨细联系为 ．题型10：遵循函数的缺乏性解不等式【例10】已知正在界说域上是减函数，且，则a的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式1】已知为上的减函数，则满意的实数的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式2】（2025高一·寰宇·专题演习）已知函数，若，则实数的取值限制为 ．【变式3】已知函数的界说域为R，对大肆的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．题型11：函数不等式恒建立（能建立）题目【例11】（24-25高一上·福修南平·期中）已知函数，若对均有建立，则实数的取值限制为（ ）A． B． C． D．【变式1】已知函数，且，．若，使得不等式建立，则实数m的取值限制为（ ）A． B． C． D．【变式2】（众选）（24-25高一上·广东湛江·阶段演习）已知不等式正在上有解，则实数的取值可认为（ ）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存正在，存正在，使，则实数的取值限制是 ．【变式4】（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数，，，.对待大肆的，存正在，使得，则的取值限制是 ．【变式5】（2025高一·寰宇·专题演习）界说正在上的函数满意当时，，且对大肆的，，有．声明：(1)；(2)对大肆的恒有；(3)是增函数．【变式6】（24-25高一上·河北廊坊·阶段演习）已知函数（）(1)设函数正在区间上的最小值为，求的外达式；(2)对（1）中的，当，时，恒有建立，务实数m的取值限制．题型12：分段函数的值域或最值【例12】若函数存正在最小值，则m的最大值为 ．【变式1】已知函数正在处得到最小值，则的取值限制是 【变式2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段演习）已知函数的值域为R，则m的取值限制是 ．【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数倘使的最小值，则实数a的取值限制是 ．【变式4】（2025高一上·寰宇·专题演习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满意，则的取值限制是 ．题型13：遵循值域求参数的值或者限制【例13】（24-25高一上·上海·阶段演习）已知，若函数的值域为，则的取值限制是 ．【变式1】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的界说域为，值域为，则实数的取值限制是 ．【变式2】（24-25高一上·寰宇·课后功课）若函数正在区间内的值域为，则的取值限制为 ．题型14：遵循分段函数的缺乏性求参数【例14】已知函数是上的减函数，则实数a的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式1】（22-23高一上·上海青浦·阶段演习）已知函数，是上的庄厉增函数，则实数的取值限制是 ．【变式2】（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知正在区间上是缺乏减函数，则实数的取值限制为 ．【变式3】（24-25高一上·寰宇·课前预习）若函数正在上为增函数，求的取值限制.题型15：分段函数的缺乏性【例15】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的缺乏递减区间为（ ）A． B．C．和 D．【变式1】已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ）A．敷裕不须要前提 B．须要不敷裕前提C．充要前提 D．既不敷裕也不须要前提【变式2】已知函数，若，则实数的取值限制是（ ）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的缺乏递增区间为 ．题型16：遵循分段函数的值域（最值）求参数【例16】（23-24高一上·福修龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值限制（ ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数的值域是，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式2】已知函数，正在上的最大值为，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存正在最小值，则实数a的取值限制为 .【变式4】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值限制为 .一、单选题1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒建立，则的取值能够是（ ）A． B．C． D．2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段演习）若界说运算，则函数的值域是（ ）A． B．C． D．3．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是界说域为上的增函数，则的取值限制是（ ）A． B． C． D．4．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数界说域为，，，，且，，则实数的取值限制是（ ）A． B．C． D．二、众选题5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的界说域是都有，且当时，，且，则下列说法确切的是（ ）A．B．函数正在上缺乏递增C．D．满意不等式的的取值限制是6．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段演习）已知界说正在的函数满意：当时，恒有，则（ ）A．B．函数正在区间为增函数C．函数正在区间为增函数D．7．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数则下列结论确切的是（ ）A．若，则B．若正在上缺乏递增，则的值可认为C．存正在，使得正在上缺乏递减D．若的值域为，则的取值限制为三、填空题8．（24-25高一上·四川遂宁·阶段演习）当时，的最小值是 ．9．（24-25高一上·河南郑州·阶段演习）若函数正在区间上是减函数，则实数的取值限制是 ．10．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数正在上缺乏递增，则实数的取值限制为 ．11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段演习）设函数正在区间上的最大值和最小值分辨为，则 .12．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数正在上是增函数，，，且对大肆，均有，则 ．13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数正在界说域上缺乏递增，则的取值限制为 ．14．（23-24高一上·四川成都·期中）已知满意，，都有，则实数的取值限制为 ．四、解答题15．（24-25高一上·福修厦门·期中）已知函数，．(1)判决函数正在上的缺乏性，并用函数缺乏性的界说给与声明；(2)求函数，的最大值和最小值．16．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数．(1)求的最小值；(2)若，务实数的取值限制．17．（24-25高一上·福修龙岩·期末）已知函数.(1)用界说法声明函数正在区间上缺乏递增；(2)对大肆的都有建立，务实数的取值限制.18．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数(1)求的值；(2)用界说声明函数正在区间上是增函数；(3)求不等式的解集．19．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数.(1)求函数的界说域；(2)判决函数的缺乏性，并用界说声明；(3)解不等式.1学科网（北京）股份有限公司$$
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